Эффективно создаем эффективные системы | Часть первая | Решаем задачу управления

Точка безубыточности



Определение.Точка безубыточности, это геометрическое положение на временной оси момента времени, при котором инвестор возвращает инвестиции, вложенные в операцию или проект.

Здесь рассматривается два подхода к определению точки безубыточности.

Первый подход традиционный. При таком подходе под инвестициями подразумеваются исключительно финансовые вложения.

Второй подход использует концепцию, согласно которой на положение точки безубыточности оказывают не только суммы связанных в операции и высвобожденных средств, но и время, в течение которого средства операции находились в связанном состоянии.
Графическое определение точки безубыточности - традиционный подход

Вначале рассмотрим решение задачи по определению точки безубыточности в традиционном её представлении.

В качестве примера рассмотрим простую торговую операцию.

Задача. Необходимо закупить партию продукции в количестве 100 ед. Цена единицы продукции 500 руб. Оплата транспорта в размере 4000 руб. осуществляется за два дня до оплаты продукции. Время доставки с момента оплаты три дня. Средняя реализация продукции 5 ед. в день. Торговая наценка 30%. Необходимо найти точку безубыточности.

Условные обозначения. Время, в течение которого осуществлялась торговая операция, определим в колонке с обозначением «n». Количественные показатели входных продуктов операции (услуг и продуктов), в колонке с обозначением «rq». Количественные показатели реализуемых продуктов операции, в колонке с обозначением «pq». Стоимость транспортной услуги обозначим символами «rs1», стоимость единицы закупаемого продукта обозначим «rs2», стоимость единицы реализуемого продукта «ps». Данные оплат по операции сформируем в колонке «re», а данные денежных поступлений от реализации продукции в колонке «pe». Кумулятивные ряды, построенные на основе рядов re[n] и pe[n], обозначим соответственно ire[n] ipe[n].

Решим задачу определения точки безубыточности, используя возможности таблицы Excel (рис.1).

Таблица исходных данных задачи графического определения точки безубыточности

Рис.1 Ввод исходных для решения задачи графического определения точки безубыточности

Рассмотрим решение задачи по шагам:

1. Вводим стоимость доставки в ячейку D1, цену за единицу закупаемой продукции в ячейку D2, цену за единицу реализуемой продукции, в ячейку D3. Поскольку цена закупки 500 руб., а наценка 30%, цена реализации продукции определяется как 500*1,3=650 руб.

2. В колонке «А» формируем временной ряд. Считаем, что началом операции явлется первый день, день оплаты транспортной услуги.

3. Поскольку для доставки мы используем одну транспортную единицу, записываем в ячейку «В8» единицу, а ячейке «D8» определяем стомость транспотных услуг, умножая значение в ячейке «D1» на значение в ячейке «В1».

4. Определяем сумму закупки продукции, на второй день после оплаты транспорта. Для этого в ячейку «В10» заносим количесво единиц закупаемой продукции. В ячейке «D10» определяем стоимость партии закупки, умножая цену единицы закупаемой продукции (ячейка «D2»), на значение количесва закупаемой продукции (ячейка «В10»).

5. В ячейки «С6:С25» заносим значения средней реализации продукции в день, а в ячейках «Е6:Е25» определяем суммы ежедневных реализаций, умножая каждое значение в колонке «Е» на цену реализации в ячейке «D3».

6. Построенные временные ряды re[n] и pe[n] представляют собой регистрационную модель операции. Для получения точки безубыточности необходимо перейти от регистрационной модели, к модели операции в виде потоков ire[n] и ipe[n]. В общем случае, это означает, что функции re[n] и pe[n] необходимо проинтегрировать. Однако, поскольку у нас дискретный временной ряд, операция интегрирования реализуется в виде численного метода интегрирования. По сути необходимо построить два кумулятивных ряда ire[n] и ipe[n]. Принцип их построения в электронных таблицах лучше описывать с использованием рекуррентных выражений ire[n]=re[n]+ire[n-1] и ipe[n] =pe[n]+ipe[n-1].

Пересечение функций ire[n] и ipe[n] (рис.2) соответствует моменту времени, который традиционно определяется как «точка безубыточности». В нашем случае точка безубыточности (ТБ) находится ближе к моменту n=22. Графическое изображение принципа определения точки безубыточности

Рис.2 Графическое определение точки безубыточности

На рис.3 изображена таблица с формулами встроенными в ячейки таблицы Excel. При желании можно получить готовую книгу Excel с уже введенными формулами для решения этой задачи и построенными графиками.

Таблица с развернутым изображением формул, для графического определения точки безубыточности

Рис.3 Пример ввода формул в ячеки таблицы Excel

Системный подход к определению точки безубыточности

Рассмотренный нами, по сути, традиционный способ определения точки безубыточности имеет много спорных моментов.

Рассмотрим две операции (рис.4, рис.5). Графическое изображение первой операции для определения точки безубыточности

Рис.4 Операция с вложением основных средств ближе к её завершению

Графическое изображение второй операции для определения точки безубыточности

Рис.5 Операция с вложением основных средств ближе к её началу

Регистрация процесса вложений в операции отображены функциями синего цвета re(t). Регистрации процесса высвобождения средств – функциями красного цвета pe(t). Сумма вложенных и высвобожденных средств у этих операций совпадают. Совпадают у этих операций и моменты их начала и завершения.

Чем отличаются эти операции? В первую операцию две трети денежных средств вложено на 18 день, а во вторую операцию, две трети средств вложено на второй день. Процесс высвобождения средств у этих операций одинаковый.

Зададимся вопросом. Что хочет узнать для себя инвестор, когда определяет точку безубыточности? Главное, что инвестор хочет узнать, опираясь на этот показатель, в какой момент времени он компенсирует свои инвестиции?

Если вы определите точки безубыточности традиционным способом, то увидите, что они у этих операций совпадают. А это не правильно, поскольку вторая операция сразу требует вложения большей части денежных средств. Таким образом, первая операция, как инвестиционный проект, должна оказаться более привлекательной. Следовательно, традиционное представление о точке безубыточности, как момента равенства высвобожденной суммы средств и средств, вложенных в операцию, не является научно обоснованным.
Обоснование новой концепции точки безубыточности

Давайте рассмотрим модель простой приведенной операции (рис.6).

Графическое изображение простой приведенной операции для определения точки безубыточности

Рис.6 Графическое изображение простой приведенной операции

Суть операции состоит в следующем. В момент времени tr=2 в операцию были вложены средства величиной RE=2 ден.ед. В момент времени tp=8, средства в размере PE=3 ден.ед. были высвобождены. Поскольку операции или проекты реализуют с целью получения добавочной стоимости, стоимостная оценка выходных продуктов операции PE выше, чем стоимостная оценка входных продуктов операции RE на величину DE=1 ден.ед. Традиционно считается, что время простой операции равно интервалу между моментами высвобождения и вложения средств. В данном случае Top=6. Преобразуем регистрационную модель операции к модели в виде двух потоков (рис.7). Графическое изображение двухпотоковой модели приведенной операции для определения точки безубыточности

Рис.7 Графическое изображение модели приведенной операции в виде двух потоков

Затем преобразуем ее в однопотоковую модель путем сложения потоков (рис.8). Результирующий поток ice(t) можно представить в виде двух потоков, закрытого потока ibe(t) и открытого потока ide(t). Графическое изображение потоковой модели приведенной операции для определения точки безубыточности

Рис.8 Графическое изображение модели приведенной операции в виде потока

Что мы видим? Средства, величиной RE=2 ден.ед. с момента времени tr и до момента времени tp были связаны процессами операции. Поэтому потери представляют собой величину, которая зависит как от стоимости вложенных в операцию средств, так и от времени их вложения и определяется площадью потока ibe(t).

В момент получен выходной продукт операции (или денежные средства), стоимостная оценка которого PE=3 ден.ед. Но целевым продуктом операции является только та его часть, которая отображается добавочной стоимостью DE=1 ден.ед. Однако, эта добавочная стоимость не может компенсировать потери операции, которые определяются связанным состоянием вложенных средств во времени. Поэтому, потери операции будут компенсированы только тогда, когда использование добавочной стоимости во времени (часть потока ide(t)) станет равным величине потоку связанных ресурсов ibe(t).

Момент времени tl и является точкой безубыточности. Почему? Потому, что только с этого момента времени от добавленной стоимости операции получают тот эффект, ради которого и проводилась операция, или осуществлялся проект.

Определить системно обоснованную точку безубыточности можно прямо по графику. Подсчитайте количество клеточек потока ibe(t) и определите такое же количество клеточек потока ide(t). Балланс между потоками будет в момент tl=20. Это и есть точка безубыточности и нашли мы ее графическим способом.

Как и в первом случае, определим эту системно обоснованную точку безубыточности графически, с использованием численных методов. Построим регистрационную модель операции re[n] pe[n] (рис.9). Модель исследуемой операции

Рис.9 Регистрационная модель приведенной операции

Построим кумулятивные ряды ire[n] и ipe[n] обработав ряды re[n] pe[n] (рис.10).
Потоковая модель исследуемой операции

Рис.10 Потоковая модель операции

Теперь проинтегрируем функции ire[n] и ipe[n]. Это означает, что мы ещё раз построим кумулятивные ряды, но теперь vre[n] и vpe[n], и опираясь уже на функции ire[n] и ipe[n] (рис.11). Величины потоков исследуемой операции

Рис.11 Текущее значение величин потоков исследуемой операции

Пересечение этих функций и определяет системно обоснованную точку безубыточности.

Так выглядит при этом таблица Excel (рис.12).

Графическое изображение таблицы Excel, отображающей модель операции и данные численных методов

Рис.12 Таблица Excel отображающая модель операции и данные численных методов

А так выглядят формулы в таблице Excel (рис.13).

Графическое изображение формул введенных в таблицу Excel

Рис.13 Таблица Excel отображающая введенные формулы

Но есть еще возможность определения точки безубыточности аналитически, с помощью формулы.
Формула для определения точки безубыточности

В теории эффективности получено выражение для определения системно обоснованной точки безубыточности (tl) в общем виде Аналитическое выражение (формула), для определения точки безубыточности в общем виде
а также выражения, для аналитического определения точки безубыточности (nl) в дискретных системах.

Для простых приведенных операций формула для определения точки безубыточности имеет вид
Аналитическое выражение (формула), для определения точки безубыточности простых приведенных операций.

Результат расчета точки безубыточности по формуле для простой приведенной операции.

Например, для исследуемой операции получим Результат расчета точки безубыточности по формуле для простой приведенной операции.

Формула для определения точки безубыточности сложных операций и проектов примет вид
Формула для определения точки безубыточности для сложных операций и проектов.

Давайте рассчитаем точки безубыточности для операций изображенных на рис.4
Первый пример расчета по определению точки безубыточности.
и рис.5
Второй пример расчета по определению точки безубыточности.

Следовательно, первая операция выгоднее для инвестирования, поскольку возврат инвестиций наступает в момент времени nl1=42, что раньше, чем возврат инвестиций по второму варианту nl2=58.

Как видим, именно расчет точки безубыточности по второму варианту, дает четкое представление о том, какой из вариантов операций или проектов обеспечивает более быстрый возврат инвестиций.